高一年级数学幂函数知识点思维导图

1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B中都有确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从函数A到函数B的一个函数.记作：y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数fx|x∈A叫做函数的值域.

注意：

函数定义域：能使函数式有意义的实数x的函数称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

1分式的分母不等于零;

2偶次方根的被开方数不小于零;

3对数式的真数必须大于零;

4指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

5如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的函数.

6指数为零底不可以等于零，

7实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同与表示自变量和函数值的字母无关;②定义域一致两点必须同时具备

2.高中数学函数值域:先考虑其定义域

1观察法

2配方法

3代换法

3.函数图象知识归纳

1定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx,x∈A中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点Px，y的函数C，叫做函数y=fx,x∈A的图象.C上每一点的坐标x，y均满足函数关系y=fx，反过来，以满足y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x，y，均在C上.

2画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1平移变换

2伸缩变换

3对称变换

4.高中数学函数区间的概念

1函数区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

2无穷区间

5.映射

一般地，设A、B是两个非空的函数，如果按某一个确定的对应法则f，使对于函数A中的任意一个元素x，在函数B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从函数A到函数B的一个映射。记作“f对应关系：A原象B象”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

1函数A中的每一个元素，在函数B中都有象，并且象是的;

2函数A中不同的元素，在函数B中对应的象可以是同一个;

3不要求函数B中的每一个元素在函数A中都有原象。

6.高中数学函数之分段函数

1在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

2各部分的自变量的取值情况.

3分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

补充：复合函数

如果y=fuu∈M,u=gxx∈A,则y=f[gx]=Fxx∈A称为f、g的复合函数。

幂函数定义：

形如y=x^aa为常数的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域

幂函数性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^p/q=q次根号x的p次方，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/x^k，显然x≠0，函数的定义域是-∞，0∪0，+∞.因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能，即对于x

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

1所有的图形都通过1，1这点。

2当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

3当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

4当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

5a大于0，函数过0，0;a小于0，函数不过0，0点。

6显然幂函数无界。