二次型及其矩阵思维导图
线性代数二次型及其矩阵思维导图
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思维导图大纲
二次型思维导图模板大纲
二次型及其矩阵表示
二次型
定义：数域P上的一个n元二次其次多项式
表示方法
1.定义式
2.和式
3.矩阵式
4.表格式
线性替换
定义:令X=CY，则称为由X到Y的一个线性替换
分类
非退化线性替换：|C|不等于0
退化线性替换：|C|=0
二次型的矩阵表示
定义：在二次型定义式中令aij=aji（i<j),得到 二次型的和式，将和式的系数排成一个n阶矩阵，便得到了二次型的矩阵
性质：A=A的转置（即二次型的矩阵为对称矩阵）
矩阵的合同
定义：如果有数域P上的可逆n阶矩阵C，使得 B=C转置AC,则称矩阵A到矩阵C转置AC的变换为矩阵的一个合同变换
性质
1，自反性
2，对称性
3，传递性
标准形
定义
仅含平方项的二次型（二次型的标准型不唯一 ）
定义式
d1x1x1+d2x2x2+···+dnxnxn
对应的原二次型
数域上P任一二次型都可以经非退化线性替换变为平方和的形式
对应的矩阵
对角矩阵：除主对角线上元素不为0，其余元素都为0
推广：由一般二次型到标准形的转换，实际上是对称矩阵到对角矩阵的转换（即任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C，使得C转置AC是对角矩阵
唯一性
定义
二次型的规范形是唯一的
分类
复二次型
经非退化线性替换变为规范形
z1z1+z2z2+···=zrzr
复二次型的矩阵合同于一个对角线上只有0，1元素的矩阵
r的个数=矩阵对角线上1的个数=矩阵秩的个数
实二次型
经非退化线性替换变为规范形
z1z1+···+zpzp-zp+1zp+1-···-zrzr
实二次型的矩阵合同于一个对角线上只有1，0，-1的矩阵
规范形中正平方项个数p称为正惯性指数,负平方项个数r-p称为负惯性指数，2p-r称为符号差
实二次型
正定二次型
定义：对任意一组不全为零的实数c1，c2，···cn，都有f（x)>0成立
判定
从二次型进行判定
f（x）=d1x1x1+d2x2x2+···+dnxnxn是正定的当且仅当di全>0
从矩阵进行判定
1.正惯性指数r+=矩阵维数n
2.A合同于单位矩阵E，或A合同于另一正定阵B
3.A的合同标准形主对角元素全大于零
4.存在可逆矩阵C，使得A=CC转置
5.A的顺序主子式全大于0
6.A的特征值全大于0
负定二次型
定义
对于一组不全为零的实数c1，c2，···，cn，都有f(x)<0
半正定二次型
定义
对于一组不全为零的实数c1，c2，···，cn，都有f(x)>或=0
判定
1.正惯性指数与秩相等
2.有实可逆矩阵C，使得CAC转置=一个主对角 元全大于零的矩阵
3.有实矩阵C，使得A=CC转置
4.A的所有主子式都大于等于0
注意：仅有A的顺序主子式大于等于0是不能保证半正定性的
半负定二次型
定义
对于一组不全为零的实数c1，c2，···，cn，都有f（x）<或=0
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