数据分析与多项式计算思维导图
MATLAB基础知识——数据分析与多项式计算
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思维导图大纲
数据分析与多项式计算思维导图模板大纲
5.1 数据统计分析
1. 求矩阵的最大元素和最小元素
max()：求向量或矩阵的最大元素。
当参数为向量时，上述函数有两种调用格式：
y=max(X)
返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。
[y,k]=max(X)
返回向量X的最大值存入y，最大值元素的序号存入k，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。
当参数为矩阵时，函数有三种调用格式：
y=max(A)
返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。
[Y,U]=max(A)
返回行向量Y和U，Y向量记录A中每列的最大值，U向量记录每列最大值元素的行号。
y=max(A,[],dim)
dim取1或2：
dim取1时，生成一个行向量。该函数的功能和max(A)完全相同；
dim取2时，生成一个列向量。该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。
min()：求向量或矩阵的最小元素。
同上
2. 求矩阵的平均值和中值
平均值：指算术平均值，即每项数据之和除以项数。x为向量时，返回一个数；x为矩阵是，返回一个行向量，为每列的平均值。
mean()：求算术平均值
中值：指在数据序列中其值的大小恰好处在中间的元素。如果数据个数为奇数，则取值为大小位于中间的元素；如果数据个数为偶数，则取中间两个元素的平均值。
median()：求中值
3. 求和与求积
sum(): 求和函数
prod(): 求积函数
4. 累加和与累乘积
sum(x)：把X所有元素相加
y1=prod(X)：把X所有元素累乘
cumsum()：生成一个同型向量，每个元素都是累加和
cumprod(X)：生成一个同型向量，每个元素都是累乘积
5. 标准差与相关系数
标准差
std(X)
计算向量X的标准差。S1 样本标准方差
std(X,1)
计算向量X的标准差。S2 总体标准方差
std(A)
计算矩阵A的各列的标准差。S1 样本标准方差
std(A,1)
计算矩阵A的各列的标准差。S2 总体标准方差
std(A,flag,dim)
矩阵A的标准差，在默认情况下，flag=0，dim=1。
flag取0或1：（默认flag=0）
当flag=0时，按S1所列公式计算样本标准方差；（默认）
当flag=1时，按S2所列公式计算总体标准方差。
dim取1或2：（默认dim=1）
dim取1时，生成一个行向量。（默认）
dim取2时，生成一个列向量。
例
相关系数
corrcoef(A)
返回由矩阵A所形成的一个相关系数矩阵，其中，第i行第j列的元素表示原矩阵A中第i列和第j列的相关系数。
corrcoef(X,Y)
在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef([X,Y])的作用一样，用于求X、Y向量之间的相关系数。
6. 排序
sort(X)
对向量X按升序排列。
[Y]=sort(X)
[Y,I]=sort(X)
[Y,I]=sort(A,dim,mode)
A为矩阵
dim取1或2：（默认dim=1）
dim取1时，对每一列进行排序。（默认）
dim取2时，对每一行进行排序。
mode指明按升序还是降序排序，
若取“ascend”，则按升序；（默认）
若取“descend”，则按降序，
输出参数中，Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。
5.2 多项式计算
1.多项式的表示
2. 多项式的四则运算
（1）多项式的 加减运算
多项式的加减运算非常简单，即相应向量相加减。
P1+P2
（2）多项式 乘法
conv(P1,P2)
多项式相乘，其中，P1、P2是两个多项式系数向量。
（3）多项式 除法
[Q,r]=deconv(P1,P2)
多项式相除，其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。
这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，因此有下式成立。
P1=conv(Q,P2)+r
3. 多项式的求导
（1）求多项式P的导函数。
p=polyder(P)
（2）求P×Q的导函数。
p=polyder(P,Q)
（3）求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。
[p,q]=polyder(P,Q)
4. 多项式的求值
polyval(p,x)
代数多项式求值，其中，p为多项式系数向量，x可以是标量、向量或矩阵。若x为标量，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式的值。
polyvalm(p,x)
矩阵多项式求值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，以方阵为自变量求多项式的值。
5. 多项式的求根
在MATLAB中，多项式求根函数为roots(p)，其中p为多项式的系数向量。
roots(p)
若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：
p=poly(x)
5.6 数据插值与曲线拟合的比较
相同点：
都属于函数逼近方法
都能进行数据估算
不同点：
实现方法不同
结果形式不同
侧重点不同
应用场合不同
还是看上面小节的内容对比区别吧，这里总结的不够
5.5 曲线拟合
引例-人口预测问题
曲线拟合的原理
与数据插值类似，曲线拟合也是一种函数逼近的方法。构造函数g(x)去逼近未知函数f(x)，使得误差在某种意义下达到最小，不需要过全部样本点。
一般用3次多项式函数去逼近函数，用最小二乘法计算误差。
曲线拟合的三种功能：
最小二乘法（又称最小平方法）
是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
曲线拟合的实现方法
MATLAB中的多项式拟合函数为polyfit()，其功能为求得最小二乘拟合多项式系数，其调用格式为：
（1）P=polyfit(X,Y,m)
根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P
（2）[P,S]=polyfit(X,Y,m)
根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点误差数据S
（3）[P,S,mu]=polyfit(X,Y,m)
根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点误差数据S，
mu是一个二元向量，mu(1)是mean(X)，而mu(2)是std(X)。
一般参考这个例题
5.3 数据插值
数据插值的实现方法
一维插值函数 为interp1()，其调用格式为：
Y1=interp1(X,Y,X1,method)
数据插值的原理
该语句将根据X、Y的值，拟合很多个函数去逼近原函数。然后根据拟合出来的函数计算函数在X1处的值。
（这个原函数可能是不可求的，但是可以用很多函数去逼近它，让逼近函数经过所有样本点）
局限性：
不能预测未来的（样本点范围之外的值）
其中，
X、Y 是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值。
X1 是一个向量或标量，表示要插值的点。
method 参数用于指定插值方法，常用的取值有以下四种：
（1）linear：线性插值，(默认方法)。
将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。
（2）nearest：最近点插值。
选择最近样本点的值作为插值数据。
（3）pchip：分段3次埃尔米特插值。
采用分段三次多项式，除满足插值条件，还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保形性。
（4）spline：3次样条插值。
每个分段内构造一个三次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。
四种方法的比较
线性插值和最近点插值方法比较简单。其中线性插值方法的计算量与样本点n无关。n越大，误差越小。
3次埃尔米特插值和3次样条插值都能保证曲线的光滑性。相比较而言，3次埃尔米特插值具有保形性；而3次样条插值要求其二阶导数也连续，所以插值函数的性态更好。
二维插值函数 为interp2()，其调用格式为：
Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)
X、Y是两个向量，表示两个参数的采样点，Z是采样点对应的函数值。
X1、Y1是两个标量或向量，表示要插值的点。
method 参数用于指定插值方法，同上，常用的取值有以上四种：
5.4 数据插值应用举例
具体例子看PPT
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