必修五数学知识点思维导图

(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.

(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.

(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.

(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.

(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;

(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：

(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.

(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.

(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.

(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.

(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.

(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.

(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件"一正二定三相等"有时需用到平方等技巧.

(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用"△≥0"求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.

如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为"工程造价最低"，"利润"或"面积(体积)(最小)"等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).

注意如下结论的运用：

(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.

(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

(6)奇偶性的推广

△面积是 ,求 . ,求cosc

三角形的三边a,b,c成等比数列,则 ,你会证明这三个结论么?

数列

★★1.一个重要的关系 注意验证 与 等不等?如已知

为等比

注:等比数列有一个非常重要的关系:所有的奇(偶)数项 .如{an}是等比数列,且

★★3.等差数列常用的性质:

①下标和相等的两项和相等,如 是方程 的两根,则

②在等差数列中, ……成等差数列,如在等差数列中,

③若一个项数为奇数的等差数列,则 , ------

数列的(小)和问题，

如：等差数列中, ,则 时的n= .等差数列中， ,则 时的n=

①公式法：等差数列的前5项和为15，后5项和为25，且 ★②分组求和法：

①运用关系式 ★②累加(如 )

★★★★分离变量法—— 在[1，3]恒成立，则 =?(必考题)

(1)可行域怎么作(一定要用直尺和铅笔)定界——定域——边界

(2)目标函数改写： (注意分析截距与z的关系)

(3)平行直线系去画

如a，b为正数，a，b满足 ，则ab的范围是

如 的最小值是 的最小值 (不要忘记交代是什么时候取到=!!)

一个非常重要的函数——对勾函数 的图象是什么?

运用对勾函数来处理下面问题 的最小值是

和——倒数和(1的代换)，如x，y为正数，且 ，求 的最小值?

和——积(直接用基本不等式)，如x，y为正数， ，则 的范围是?

不要忘记x ，xy，x2+y2这三者的关系!如x，y为正数， ，则 的范围是?

★★★★一类必考的题型——恒成立问题(处理方法是分离变量)

如 对任意的x∈[1，2]恒成立，求a的范围? 在[1，3]恒成立，则 =?

(1)已知a，b为正常数，x、y为正实数，且 ，求x+y的最小值。

(2) 已知 ，且 ，求 的值

(3) 求 的和最小值。

(1) ，作一组平行线l： ，解方程组 得解b(3，1)， 。解 得解c(7，9)，

(2) 表示可行域内的点(x,y)与(0，0)的连线的斜率。从图中可得， ，又 ， 。

(3) 表示可行域内的点(x,y)到(0，0)的距离的平方。从图中易得， ，(of为o到直线ab的距离)， 。 ， ， ， 。

则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N.).

若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项).

注意：

利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

四种方法

等差数列的判断方法

注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.