行列式思维导图

行列式

1. 展开

   1. 完全展开式

      2. 逆序数

   2. 按i展开

      1. |A|=ai1Ai1...ainAin

   3. 按j展开

      1. |A|=a1jA1j...anjAnj

   4. 余子式与代数余子式

2. 性质

   1. |AT|=|A|

   2. 某行有公式因式k，可以把k提到行列式外；若某行元素全为0，则行列式为0

   3. 两行互换，行列式变号；若两行相等或两行成比例，行列式为0

   4. 某行所有元素都是两个数的和，则可以写成两个行列式的和

   5. 某行k倍加至另一行，行列式的值不变

   6. |kA|=k"|A|

   7. A和B都是n的阶矩阵，则|AB|=|A||B|

   8. 若A可逆，则|A-1|=|A|-1

   9. |A*|=|A|n-1

   10. 若拉姆达1是A的特征值，则|A|=拉姆达i

   11. 若方阵A与B相似，则|A|=|B|

   13. 上下三角行列式的值等于主对角线元素相乘

3. 行列式计算

   1. 具体型

      1. 化为上下三角行列式

      2. 递推法

      3. 数学归纳法

      4. 直接按某一行展开

      5. 逐行相加

      6. 把每一行都加到第一行

      7. 把第一行的k倍加到第i行

   2. 抽象型

      1. 用行列式性质

      2. 用矩阵知识

      3. 用相似

4. 应用

   1. 克拉默法则

   2. 范德蒙行列式