《高等数学》积分学思维导图
《高等数学》积分学思维导图例如不定积分、变限积分、定积分、反常积分和二重积分，不定积分包含了奇偶函数和周期函数的不定积分、原函数存在定理，变限积分包含了变限积分的定义与性质、变限积分的求导法、变限积分应用，定积分包含了定积分的定义与性质、定积分计算、定积分的应用，反常积分包含了反常积分的计算，牛顿-莱布尼兹公式加求极限，杰塔函数与正态分布，二重积分包含了二重积分的定义与性质，计算二重积分，化简计算，利用普通对称性与轮换对称性化简计算，将这些知识点系统地呈现出来，将为学习积分学的同学提供有帮助的参考。
思维导图大纲
《高等数学》积分学思维导图模板大纲
不定积分
不定积分的定义与性质
牛顿-莱布尼兹公式（变限积分形式）
奇偶函数的不定积分
奇函数的原函数全为偶函数
偶函数的原函数只有一个为奇函数
周期函数的不定积分
周期函数的原函数也是周期函数的充要条件为该周期函数在一个周期内的积分值为0
周期函数原函数的性质
原函数存在定理
不定积分存在定理（该定义有谬误，有第二类间断点的函数在该区间内可能存在原函数）
不定积分（变限积分）存在必连续。若f(x)连续，则其不定积分或原函数可导。
若某函数在某区间内仅存在有限个第一类间断点，则该函数在该区间内可积；若某函数在某区间内存在无穷间断点，则该函数在该区间内不可积。
可积的必要条件：有界。
是否可积与是否存在原函数无必然联系。
变限积分
变限积分的性质
变限积分存在即连续，且若被积函数在某区域内连续，则变限积分在该区域内可导。
变限积分是不定积分中的某一个原函数，等于不定积分减去一个常数
变现积分求导法
具体公式
注意被积函数的自变量是否含有上下限的元素，有的话需要进行换元
变限积分的应用
设变限积分为辅助函数
解决罗尔型问题
解决Lagrange型问题
解决Taylor型问题
变限积分与微分方程综合
变限积分与极限综合
一般需要处理，处理后使用洛必达法则和导数定义计算
求无穷小阶数
计算不定积分
基本积分公式
第一类换元法（凑微分法）
第二类换元法
注意换元时积分因子也要换
注意计算不定积分时最后需要回代
注意换元要在单调区间内取值
定积分
定积分的定义与性质
性质（定积分的性质基本取决于被积函数）
定积分是个数，而不定积分是一族函数
估值定理
积分中值定理
比较定理
被积函数相同，积分区间不同
积分区间相同，被积函数不同
奇偶函数的定积分
周期函数的定积分
计算定积分
先计算不定积分，再使用牛顿莱布尼兹公式
注意其使用条件
利用被积函数的周期性与奇偶性化简计算
若被积函数在被积区域内间断，则采用分段积分法
华里士公式
分部积分法
利用换元法化简积分的计算
区间再现公式
某些常见定积分
证明等式与不等式
将积分上限改为X，移项做辅助函数再对辅助函数进行求导
对变限积分使用Taylor展开，变限积分也是函数，拥有一切函数的性质。
考察换元法及定积分的几条性质（其实也就是考察被积函数的性质）
不改变区间的条件下改变被积函数进行放缩（多用于被积函数带n次方的类型）
不改变函数的条件下对区间进行放缩
分部积分法
利用奇偶性与周期性
利用换元法（多用反函数代换与三角代换）
将两个定积分相乘写成二重积分再换序
定积分的应用
几何应用
求面积
求旋转体的体积
经济应用
求总函数
反常积分
计算
牛顿-莱布尼兹公式加求极限
杰塔函数与正态分布
二重积分
定义与性质
定义：二重积分的值是三维空间中一张曲面与水平平面围成的曲顶柱体体积
积分区域的可加性
比较定理
估值定理
积分中值定理
计算二重积分
画出积分区域
确定积分坐标系
直角坐标系
适合计算被积函数为多项式的二重积分
极坐标系
被积函数出现x平方+y平方多半选择极坐标系
有时积分区域为三角形也可使用极坐标系
化简计算
利用普通对称性与轮换对称性化简计算
利用移动坐标轴来创造对称性化简计算
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